Cuerpos geométricos
MARCO TEÓRICO: Mira a tu alrededor y verás formas y cuerpos geométricos: un vaso en
forma de cilindro, un embudo en forma de cono, una caja en forma de prisma, un
balón en forma de esfera, un par de dados en forma de cubos.
Todos
los cuerpos geométricos pueden ser construidos por el ser humano y cumplir
funciones determinadas, algunos permiten almacenar líquidos u otras sustancias
o simplemente servir de adornos, porque presentan formas especiales sirviendo
de empaques para regalos.
Todos
comparten ciertas características como tener un nombre, poder dibujarse, tener
un desarrollo especial, tener un área lateral, tener un volumen.
El desarrollo de un cuerpo geométrico se refiere al plano que se dibuja en una hoja para luego recortar con tijeras, luego armarse y pegarse para construir un cuerpo.
El
área lateral se refiere a la cantidad de unidades cuadradas (centímetros
cuadrados o metros cuadrados) que posee el contorno del cuerpo geométrico y que
se calculan con base en fórmulas matemáticas específicas
El
volumen se refiere a la cantidad de
unidades cúbicas (cubos) que contiene en
su interior el cuerpo geométrico y que generalmente son centímetros cúbicos o
metros cúbicos, el volumen se puede calcular mediante fórmulas matemáticas
específicas.
Cuando
las formas son circulares o los cuerpos son redondos las fórmulas emplean el
número π (se lee número pi), que es la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro y que equivale a 3, 1416.
EJEMPLO(S):
A continuación encontrarás una tabla donde
están los principales cuerpos geométricos, su desarrollo, la fórmula para
calcular el área lateral (A) y el volumen (V), debes observar las letras que se
encuentran en los dibujos y los
desarrollos y que corresponden a las medidas específicas para cada cuerpo geométrico.
El plano del desarrollo se puede utilizar como molde para construir los diferentes cuerpos
Ejemplo 1.
Una caja en forma
de paralelepípedo, tiene las siguientes dimensiones:
Largo: 20 cm
Ancho: 10 cm
Alto: 15 cm
a. Hallar el área lateral
b. Hallar el volumen
Solución:
observando la tabla y utilizando las fórmulas para área y volumen.
Identificamos que el valor de “a” es 20 cm, el valor de “b” es 10 cm y el valor de “c” es 15 cm.
El área A es: 2(ab+ac+bc)
Reemplazando:
2(20x10 + 20x15 + 10x15)=
2(200 + 300 + 150)
=
2(650) =
1300 cm2 es el área lateral, es la cantidad
de material que se requiere para construir la caja.
Se requieren 1300
cuadrados de un centímetro de lado.
El volumen V es:
abc (largo x ancho x alto)
20x10x15 =
3000 cm3 es el volumen que tiene la caja.
Caben tres mil
cubitos de un cm de arista dentro de la caja.
Ejemplo 2.
Se requiere
construir un cilindro cuya base tiene un radio de 10 cm, y una altura de 40 cm.
a. ¿Cuánto material se requiere, como mínimo?
b. ¿Qué volumen tiene el interior del cilindro?
Solución:
a. El área lateral es la cantidad mínima de material que se necesita, según
la tabla el área lateral está compuesta por las áreas de las bases, en este
caso el área de los dos círculos de
radio 10 cm. Mas el área de un rectángulo cuyo largo es, según la fórmula,
igual a 2πR y cuya altura es H. reemplazando valores
tenemos:
AB= área de
una base = πR2 = (3,1416)(10)2=(3,1416)(100)=
314,16
AL= área
lateral = 2πRH =2(3,1416)(10)(40)= 2513,28
AT=área
total = 2 veces
el área de la base más área lateral
= 2(314,16) + 2513,28
= 628,32 + 2513,28
= 3141,6 cm2 se necesitan como
mínimo 3141,6 cuadrados de un cm de lado.
b. El volumen V = ABH
=área de la base por la altura
V= (314,16) (40)
V= 12566,4 cm3 el volumen
del cilindro es de 12566,4 cubos de un cm de lado
Ejemplo 3:
Un cono de helado
tiene 8 cm de alto y el radio de la base es de 6 cm.
a. ¿Cuál es el área lateral?
b. ¿qué volumen tiene?
Solución:
a.
El área total del cono está compuesta por la
suma del área de la base (que es el área de un circulo) más el área lateral.
Para
calcular el área lateral tenemos que saber el valor de G (generatriz del cono,
este valor se calcula utilizando el teorema de Pitágoras.
b.
El volumen del cono así como el de la pirámide
es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.
ACTIVIDADES:
Resolver el siguiente cuestionario tipo icfes, que consta de 6 problemas
anexando el proceso que se utilizó para hallar la respuesta, junto con el
dibujo del cuerpo y las medidas correspondientes.
1.
Para forrar con plástico, una caja de 30 cm de
largo por 20 cm de ancho y 10 cm de alto se requieren como mínimo:
a. 1264 cm2 de plástico
b. 12640 cm2 de plástico
c. 126400 cm2 de plástico
d. 1264000 cm2 de plástico
2.
El volumen de una caja de 30 cm de largo por 20
cm de ancho y 10 cm de alto es:
a. 600 cm3
b. 6000 cm3
c. 260000 cm3
d. 600000 cm3
3.
Para construir un tanque plástico de forma cilíndrica, de 2 metros de
alto y 1 metro de radio de la base, se requiere como mínimo
a. 18,8616 metros cuadrados de plástico
b. 188,616 metros cuadrados de plástico
c. 1886,16 metros cuadrados de plástico
d. 18861,6 metros cuadrados de plástico
4.
El máximo volumen de agua que contiene un tanque
cilíndrico de plástico de 2 metros de alto y 1 metro de radio de la base es:
a. 6,2832 metros cúbicos
b. 62,832 metros cúbicos
c. 628,32 metros cúbicos
d. 6283,2 metros cúbicos
5.
Un cono de 4 cm de alto y un radio de la base de
3 cm tiene una generatriz de:
a. 5 cm
b. 10 cm
c. 15 cm
d. 20 cm
6.
El volumen de un cono de 5 cm de alto y 3 cm de
radio de la base está dado por las siguientes operaciones:
a. 1/3 π(9)(5)
b. 1/3 π(5)(3)
c. 1/3 π(9)(25)
d. 1/3 π(25)(3)
CRITERIOS
DE EVALUACIÓN
1. Responda y describa el proceso que utilizó
para hallar la solución de cada uno de los puntos del cuestionario tipo ICFES.
Según el grupo al que pertenece envíe o
presente la evaluación al docente encargado así:
Al terminar la actividad digitar las respuestas en el formulario de google "Actividad 3 segunda cartilla"
Link:
https://forms.gle/ugZ7MhznM1XEjocx8
Correo electrónico: avilaacostajorgeenrique@gmail.com
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